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在代數課本中有提到的 simple extension ,
當 a 是 transcendental over F 的時候,其實它的造法蠻有趣,也蠻簡單的.
因為 F[a] 是一個 integral domain , 所以在之前的 5.4 章有提到的
field of quotient 的想法是一樣的.
* field of quotient 的造法就是
D ( =F[a], a is transcendental over F ) 是一個 integral domain 之後,
造一個集合是 D * D = {(a,b)| a,b belong to D , b =\ 0}
additive operation : [(a,b)] + [(c,d)] = [(ad+bc),bd]
multiplicative operation : [(a,b)] + [(c,d)] = [ac,bd]
multiplicative operation : [(a,b)] + [(c,d)] = [ac,bd]
之間必須要檢驗 well-defined , 定義 equivalent pairs ,
和是否成為一個 field.當然是會形成一個 field .這也才是我們想要得到的.
和是否成為一個 field.當然是會形成一個 field .這也才是我們想要得到的.
而在 field of quotient 這一章裡,也有蠻多觀念也是蠻重要的.如
* 每一個包含 D (integral domain) 的 field ,必會包含 field of quotient of D.
* 任意兩個不同的 integral domain , 它們的 field of quotient 會 isomorphism.
這兩個觀念是蠻重要的.
相較於 a is algebraic over F 的話,extension field of F 的造法就更單純了.
只要找出 irreducible polynomial p(x) for a over F , 那麼
只要找出 irreducible polynomial p(x) for a over F , 那麼
F[x]/<p(x)> 就是一個 extension field of F 了.
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